Ich würde das Zeugnis erstmal auf Herz und Nieren prüfen (lassen) und dann selbst (oder von einem Profi) soweit überarbeiten (lassen), dass du damit leben könntest. Und dann musst du mit deinem Arbeitgeber klären, ob der diese Änderungen akzeptiert. Wenn er sich stur stellt, kann ein Anwalt ein Schreiben aufsetzen, mit dem er den Arbeitgeber zur Korrektur auffordert (siehe
http://www.ra-diedrich.de/taetigkeitsfelder/popup_arbeitsrecht/texte/zeugnisaenderung.htm). Die meisten Auseinandersetzungen enden sehr schnell mit einem Vergleich, weil niemand Lust hat, wegen ein paar Sätzen vor Gericht gezerrt zu werden und auch noch dafür zahlen (in der ersten Instanz zahlt jede Partei die Kosten selbst). Außerdem - und das ist in deinem Fall sehr wichtig - wäre der Arbeitgeber schadensersatzpflichtig, wenn du wegen eines erweisenermaßen falschen Zeugnisses eine Stelle nicht bekommst!!!
Normalerweise kann man das kaum nachweisen, weil man nicht erfährt, warum man agelehnt wurde. In deinem Fall ist das anders. Wenn du deinen Ex-Arbeitgeber darauf hinweist, wird das seine Bereitschaft zur Berichtigung sicher erhöhen.
Wenn du Leistungsnachweise hast, ist das schon mal sehr gut! Denn wenn du die Note 2 willst, muss du nachweisen, dass du so gut warst. Wenn dir der Arbeitgeber die Note 4 geben will, ist hingegen er beweispflichtig.
Wichtig ist aber wirklich, dass du jeden Mangel des Zeugnisses kennst, bevor du reklamierst. Wenn dir erst nach der Reklamation weitere Mängel auffallen, ist es dafür zu spät.
Genauer steht das hier:
http://www.arbeitszeugnis.de/rechtsberatung.php Schnelle, bezahlbare Hilfe bei der Analyse und Verbesserung findest du hier:
http://www.arbeitszeugnis.de/zeugnistest.php